Cho x, y, z là ba số thỏa mãn điều kiện 4x^2+2y^2+2z^2−4xy−4xz−2yz−6y−10z+34 =0. Giá trị của biểu thức K = (x − 4)^2020 + (y − 4)^2021 + (z − 4)^2022

$4x^2+2y^2+2z^2-4xy-4xz-2yz-6y-10z+34=0$

$⇒4x^2-4xy+y^2-2z(2x+y)+z^2+y^2-6y+9+z^2-10z+25=0$

$⇒(2x-y)^2-2z(2x+y)+z^2+(y-3)^2+(z-5)^2=0$

$⇒(2x-y-z)^2+(y-3)^2+(z-5)^2=0$

Vì: $(2x-y-z)^2+(y-3)^2+(z-5)^2≥0(∀x;y;z)$

$⇒$ $\begin{cases} 2x-y-z=0\\y-3=0\\z-5=0 \end{cases}$

$⇒$ $\begin{cases} 2x-3-5=0\\y=3\\z=5 \end{cases}$

$⇒$ $\begin{cases} 2x=8\\y=3\\z=5 \end{cases}$

$⇒$ $\begin{cases} x=4\\y=3\\z=5 \end{cases}$

Thay vào $K$:

$K=(4-4)^{2020}+(3-4)^{2021}+(5-4)^{2022}$

$=0-1+1$

$=0$

Vậy $K=0$.

`4x^2+2y^2+2z^2-4xy - 4xz - 2yz-6y -10z+34=0`

`->(4x^2-4xy+y^2) - (4xz +2yz) + z^2 + (y^2-6y +9)+(z^2-10z+25)=0`

`->(2x-y)^2- 2z (2x+y) +z^2 +(y-3)^2+(z-5)^2=0`

`->(2x-y-z)^2 +(y-3)^2+(z-5)^2=0`

Do `(2x-y-z)^2>=0,(y-3)^2>=0,(z-5)^2>=0∀x,y,z`

`->(2x-y-z)^2+(y-3)^2+(z-5)^2>=0∀x,y,z`

Dấu "`=`" xảy ra khi :

`2x-y-z=0, y-3=0,z-5=0`

`<=> 2x=y+z, y=3,z=5`

`<=>x=4,y=3,z=5`

`K=(x-4)^{2020}+(y-4)^{2021}+(z-4)^{2022}`

`=(4-4)^{2020}+(3-4)^{2021}+(5-4)^{2022}`

`=0-1+1`

`= 0`

Vậy `K=0`