Cho `x,y` thoả mãn `x^3-9x^2+29x-47=0` và `y^3-9y^2+29y-19=0` Tính giá trị của biểu thức: `M=x+y.`

Đáp án:  $M=6$

Giải thích các bước giải:

Giả thiết: $\begin{cases}x^3-9x^2+29x-47=0\\y^3-9y^2+29y-19=0\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}\left(x^3-9x^2+27x-27\right)+2\left(x-3\right)-14=0\\\left(y^3-9y^2+27y-27\right)+2\left(y-3\right)+14=0\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}\left(x-3\right)^3+2\left(x-3\right)-14=0\\\left(y-3\right)^3+2\left(y-3\right)+14=0\end{cases}\,\,\,\,\,\left( * \right)$

Đặt $a=x-3$ và $b=y-3$

$\left(*\right)\Leftrightarrow\begin{cases}a^3+2a-14=0\\b^3+2b+14=0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \left( {{a}^{3}}+2a-14 \right)+\left( {{b}^{3}}+2b+14 \right)=0$

$\Leftrightarrow \left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)+\left( 2a+2b \right)=0$

$\Leftrightarrow \left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)+2\left( a+b \right)=0$

$\Leftrightarrow \left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}+2 \right)=0$

$\Leftrightarrow a+b=0$   (vì ${{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}+2>0$)

$\Leftrightarrow x-3+y-3=0$

$\Leftrightarrow x+y=6$

$\Leftrightarrow M=6$