Cho x,y là các số thực thỏa mãn : x^3 + y^3 - 6( x^2 + y^2 ) + 13 ( x + y ) - 20 = 0 . Tìm giá trị biểu thức : A = x^3 + y^3 + 12xy

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Ta có: $\ x³ + y³ - 6(x² + y²) + 13(x + y) - 20 = 0 $

$\ ⇔ (x + y)³ - 3xy(x + y) - 6(x² + 2xy + y² - 2xy) + 13(x + y) - 20 = 0 $
$\ ⇔ (x + y)³ - 3xy(x + y) - 6(x² + 2xy + y²) + 12xy + 13(x + y) - 20 = 0 $

$\ ⇔ (x + y)³ - 3xy(x + y) - 6(x + y)² + 12xy + 13(x + y) - 20 = 0 $

- Đặt $\ x + y = a $

$\ ⇔ a³ - 3xya - 6a² + 12xy + 13a - 20 = 0 $
$\ ⇔ a³ - 4a² - 2a² + 8a + 5a - 20 - 3xya + 12xy = 0 $
$\ ⇔ (a³ - 4a²) - (2a² - 8a) + (5a - 20) - (3xya - 12xy) = 0 $

$\ ⇔ a²(a - 4) - 2a(a - 4) + 5(a - 4) - 3xy(a - 4) = 0 $

$\ ⇔ (a - 4)(a² - 2a + 5 - 3xy) = 0 $
Thay $\ x + y = a $ vào kết quả vừa tìm ta được:

$\ ⇒ (x + y - 4)[(x + y)² - 2(x + y) + 5 - 3xy] = 0 $

$\ ⇔ (x + y - 4)(x² + 2xy + y² - 2x - 2y + 5 - 3xy) = 0 $

$\ ⇔ (x + y - 4)(x²  + y² - 2x - 2y + 5 - xy) = 0 $

$\ ⇒ $ \(\left[ \begin{array}{l}x+y-4=0\\x²  + y² - 2x - 2y + 5 - xy=0\end{array} \right.\) 

- Xét $\ x²  + y² - 2x - 2y + 5 - xy=0  $

$\ ⇒ \dfrac{1}{2}(2x² + 2y² - 4x - 4y - 2xy + 10) = 0 $

$\ ⇔ \dfrac{1}{2}(x² + x² - 2xy + y² + y² - 4x - 4y - 2xy + 4 + 4 + 2) = 0 $

$\ ⇔ \dfrac{1}{2}[(x² - 2xy + y²) + (y² - 4y + 4) + (x² - 4x + 4)+ 2] = 0 $

$\ ⇔ \dfrac{1}{2}[(x - y)² + (y - 2)² + (x - 2)²+ 2] = 0 $ (vô nghiệm)

$\ ⇔ x + y - 4 = 0 $
$\ ⇔ x + y = 4 $

Áp dụng kết quả vừa tìm vào biểu thức $\ A $ ta được:

$\ ⇒ A = x³ + y³ + 12xy $

$\ ⇒ A = (x + y)³ - 3xy(x + y) + 12xy $

$\ ⇒ A = (x + y)³ - 3xy(x + y - 4) $

Mà $\ x + y - 4 = 0 $

$\ ⇒ A = (x + y)³  $

$\ ⇒ A = 4³ = 64 $

Vậy giá trị của biểu thức $\ A = 64 $