Cho x,y là các số thực thỏa mãn $\sqrt[]{x-1}-y\sqrt[]{y}=\sqrt[]{y-1}-x\sqrt[]{x}$ Tính giá trị nhỏ nhất của $S=x^{2}+3xy-2y^{2}-6y+10$ Giải thích chi tiết+Chính xác

Đáp án: ${{\min }_{S}}=\dfrac{11}{2}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{3}{2}$

Giải thích các bước giải:

Điều kiện: $x,y\ge 1$

Có: $\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{x-1}-\sqrt{y-1} \right)+\left( x\sqrt{x}-y\sqrt{y} \right)=0$

$\Leftrightarrow \dfrac{\left( x-1 \right)-\left( y-1 \right)}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left[ {{\left( \sqrt{x} \right)}^{3}}-{{\left( \sqrt{y} \right)}^{3}} \right]=0$

$\Leftrightarrow \dfrac{\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)\left( x+\sqrt{xy}+y \right)=0$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)\left( \dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+x+\sqrt{xy}+y \right)=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}-\sqrt{y}=0$ (vế sau luôn dương)

$\Leftrightarrow x=y$

$S={{x}^{2}}+3xy-2{{y}^{2}}-6y+10$

$S={{x}^{2}}+3{{x}^{2}}-2{{x}^{2}}-6x+10$

$S=2{{x}^{2}}-6x+10$

$S=\left( 2{{x}^{2}}-6x+\dfrac{9}{2} \right)+\dfrac{11}{2}$

$S={{\left( x\sqrt{2}-\dfrac{3\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{11}{2}\,\,\,\ge \,\,\,\dfrac{11}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi $x\sqrt{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}=y$

Vậy ${{\min }_{S}}=\dfrac{11}{2}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{3}{2}$