cho x,y dương , xy-80 căn(xy) +4x+100y+400=0 => tính giá trị của K = 20 căn x +y^2+1 ?

Đáp án:

 `K=217`

Giải thích các bước giải:

ĐKXĐ: `x≥0; y≥0 `

$\begin{array}{l} xy - 80\sqrt {xy} + 4x + 100y + 400 = 0\\ \Leftrightarrow (xy - 40\sqrt {xy} + 400) + (4x - 40\sqrt {xy} + 100y) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {xy} - 20} \right)^2} + {\left( {2\sqrt x - 10\sqrt y } \right)^2} = 0 \end{array}$

Vì ${\left( {\sqrt {xy} - 20} \right)^2} \ge 0;{\left( {2\sqrt x - 10\sqrt y } \right)^2} \ge 0$ (với mọi `x;y)`

`=> (\sqrt{xy}-20)^2 + (2\sqrt{x}-10\sqrt{y})^2≥0`

Dấu "=" xảy ra khi 

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {xy} - 20 = 0\\ 2\sqrt x - 10\sqrt y = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {xy} - 20 = 0\\ \sqrt x - 5\sqrt y = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt x = 5\sqrt y \\ \sqrt {xy} - 20 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt x = 5\sqrt y \\ 5\sqrt y .\sqrt y - 20 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt x = 5\sqrt y \\ 5y = 20 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 100(TM)\\ y = 4(TM) \end{array} \right. \end{array}$

`=> K=20\sqrt{x}+y^2 + 1=20\sqrt{100}+4^2 +1 = 217`