Cho tứ giác ABCD có AD=AB = BC và góc A + góc C bằng 180 độ. a) Chứng minh: DB là phân giác góc D b) Tứ giác ABCD là hình thang cân

Đáp án:

a) Gọi N, M là hình chiếu vuông góc của B xuống AD và CD

Ta có:

$\begin{array}{l} \widehat {DAB} + \widehat {BAM} = {180^0}\\ \widehat {DAB} + \widehat {BCN} = {180^0}\left( {gt} \right)\\  \Rightarrow \widehat {BAM} = \widehat {BCN}\\ \text{Xét}:\Delta BAM;\Delta BCN:\\  + \widehat {BAM} = \widehat {BCN}\\  + \widehat {BMA} = \widehat {BNC} = {90^0}\\  + BA = BC\left( {gt} \right)\\  \Rightarrow \Delta BAM = \Delta BCN\left( {ch - gn} \right)\\  \Rightarrow BM = BN\\ \text{Xét}:\Delta DBM;\Delta DBN:\\  + \widehat {DMB} = \widehat {DNB} = {90^0}\\  + BM = BN\\  + DB\,chung\\  \Rightarrow \Delta DBM = \Delta DBN\left( {ch - gn} \right)\\  \Rightarrow \widehat {BDM} = \widehat {BDN} \end{array}$

=> DB là phân giác của góc D

b) Tam giác ABD có AB = AD
=> tg ABD cân tại A

=> góc ADB = góc ABD

Mà góc ADB = góc BDC (cmt)

=> góc ABD = góc BDC
=> AB// CD (2 góc so le trong bằng nhau)

=> ABCD là hình thang.

=> ΔADC = ΔBCD (g-c-g)

=> góc ADC = góc BCD
=> ABCD là hình thang cân.