Cho tứ diện ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các canh BC, AD, AC,BD và G là giao điểm của MN và PQ. Tính diện tích tam giác GAB?

Gọi G' là trọng tâm tam giác BCD, do đó $AG' \perp (BCD)$ và $AG = \dfrac{2}{3} AG'$.

Ta tính được $DM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ là đường cao của tam giác đều cạnh $a$.

Khi đó $DG' = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

Áp dụng Pytago ta có

$AG'^2 = AD^2 - DG'$

Vậy $AG' = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$

Gọi R là trung điểm CD. Khi đó G là trọng tâm tam giác BRA và cũng suy ra $BG = AG = \dfrac{2a\sqrt{6}}{9}$.

Vậy tam giác GAB cân tại G.

Hạ $GH \perp AB$. KHi đó, áp dụng Pytago ta tính đc $GH = \dfrac{a\sqrt{15}}{18}$.

Vậy

$S_{GAB} = \dfrac{1}{2} AB.GH = \dfrac{1}{2} . a . \dfrac{a\sqrt{15}}{18} = \dfrac{a^2\sqrt{15}}{36}$.