cho tứ diện ABCD có các cạnh AB,AC,AD đôi một vuông góc với nhau AB=6a, AC=7a, AD=4a. gọi M,N,P tương ứng là trung điểm các cạnh BC,CD,DB. tính thể tích của tứ diện AMNP
2 câu trả lời
Đáp án:
$V_{AMNP}=7a^3$
Giải thích các bước giải:
$V_{ABCD}=\dfrac13.6a.\dfrac12.7a.4a=28a^3$
$\dfrac{V_{APMN}}{V_{ABCD}}=\dfrac{\dfrac13.d(A,(PMN)).S_{PMN}}{\dfrac13.d(A,(BCD)).S_{BCD}}$ (do mp(PMN) chính là mp(BCD) nên d(A,(PMN)=d(A,(BCD))
$=\dfrac{S_{PMN}}{S_{BCD}}=\dfrac{\dfrac12.PM.PN.\sin\widehat{(PM,PN)}}{\dfrac12.DC.BC.\sin\widehat{(DC,BC)}}$ (do PM, MN là đường trung bình của $\Delta BCD$, PNCM là hình bình hành nên $\widehat{NPM}=\widehat{BCD}$)
$=\dfrac{PM.PN}{DC.BC}=\dfrac12.\dfrac12=\dfrac14$
$\Rightarrow V_{AMNP}=\dfrac14.28a^3=7a^3$
Đáp án:
$V_{AMNP}=7a^3$
Giải thích các bước giải:
$V_{ABCD}=\dfrac13.AD.\dfrac12.AB.AC=\dfrac16.AB.AC.AD=\dfrac16.6a.7a.4a=28a^3$
Áp dụng công thức tính tỉ lệ thể tích các khối tứ diện ta có:
$\dfrac{V_{DAPN}}{V_{DABC}}=\dfrac{DA}{DA}.\dfrac{DP}{DB}.\dfrac{DN}{DC}=\dfrac12.\dfrac12=\dfrac14$
$\Rightarrow V_{DAPN}=\dfrac14.V_{DABC}$
$\dfrac{V_{BAPM}}{V_{BADC}}=\dfrac{BA}{BA}.\dfrac{BP}{BD}.\dfrac{BM}{BC}=\dfrac12.\dfrac12=\dfrac14$
$\Rightarrow V_{BAPM}=\dfrac14.V_{BADC}$
$\dfrac{V_{CAMN}}{V_{CABD}}=\dfrac{CA}{CA}.\dfrac{CM}{CB}.\dfrac{CN}{CD}=\dfrac12.\dfrac12=\dfrac14$
$\Rightarrow V_{CAMN}=\dfrac14.V_{CABD}$
$\Rightarrow V_{APMN}=V_{ABCD}-V_{DAPN}-V_{BAPM}-V_{CAMN}$
$=V_{ABCD}-\dfrac14V_{ABCD}-\dfrac14V_{ABCD}-\dfrac14V_{ABCD}$
$=V_{ABCD}-\dfrac34V_{ABCD}=\dfrac14V_{ABCD}=\dfrac{28a^3}4=7a^3$
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm
