Cho tam giác MNP và một điểm Q nằm trong tam giác ABC. Gọi K,H lần lượt là giao điểm của PQ, NQ với MN, MP. Chứng minh rằng tứ giác MKQH nội tiếp khi và chỉ khi tiếp tuyến của K và H của đường tròn ngoại tiếp tam giác MKH cắt nhau tại một điểm trên NP.

Đáp án:

Giải thích các bước giải: Vắn  tắt 

- Khi $ MKQH $ nội tiếp:

Vẽ đường tròn ngoại tiếp $\Delta NKQ$ cắt $NP$ tại $I$

$ => IQP = N $ mà $HQK = M $

$ => IQH + IPH = M + N + P = 180^{0} => IPHQ $ nt

Dựng đường tròn ngoại tiếp $\Delta HIK$ cắt $NP$ tại $J$

$ => JHK = NIK = NQK = M => JH$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta MKH (1)$

Tương tự $ JK$ cũng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta MKH (2)$

$ (1); (2) => đpcm$
-  Khi tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta MKH$ tại

$ H; K$ cắt nhau tại $ J \in NP$

Vẽ đường tròn ngoại tiếp $\Delta JHK$ cắt $ NP$ tại $I$

$ => NIK = JHK = M => MKIP $ nội tiếp $ => IKP = IMP (3)$

Tương tự $ MHIN $ nội tiếp $ => IHN = IMN (4)$

$ (3) + (4) : IKQ + IHQ = M (5)$

Mà $ IKH + IHK = 180^{0} - HIK = 180^{0} - HJK = 2M (6)$

$ (6) - (5) : QKH + QHK = M <=> NQK = M $

$ => MKQH $ nội tiếp (đpcm)