Cho tam giác ABC vuông tại A, Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B ,ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD , K là giao điểm của AC và BF. CMR : a)AH=AK b) AH^2 =BH.CK

`a,`

Đặt `AB=c;AC=b`

$BD//AC$ ( cùng vuông góc với `AB` )

`=>(AH)/(HC)=(AC)/(BD)=b/c=>(AH)/(HB)=b/c`

                                                  `=>(AH)/(HB+AH)=b/(b+c)`

Hay `(AH)/(AB)=b/(b+c)=>(AH)/c=b/(b+c)`

                                         `=>AH=(b.c)/(b+c)` $(1)$

$AC//CF$ ( Cùng vuông góc với `AC` )

`=>(AK)/(KC)=(AB)/(CF)=c/b=>(AK)/(KC)=c/b`

                                                  `=>(AK)/(KC+AK)=c/(c+b)`

Hay `(AK)/(AC)=b/(b+c)=>(AK)/b=c/(b+c)`

                                         `=>AK=(b.c)/(b+c)` $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ `=>AH=AK=(b.c)/(b+c)` $(đpcm)$

`b,`

Ta có :

+ `(AH)/(HB)=(AC)/(BD)=b/c`

+ `(AK)/(KC)=(AB)/(CF)=c/b`

`=>(AH)/(HB)=(KC)/(AK)=>(AH)/(HB)=(KC)/(AH)`

`=>AH.AH=KC.HB`

`=>AH^2 =BH.KC` $(đpcm)$