Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Kẻ $HM$ vuông góc với $AB$ tại $M$, kẻ $HN$ vuông góc với $AC$ tại $N$. a) Chứng minh $AH=MN$? b) Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $BH$ và $HC$. Tứ giác $MPQN$ là hình gì? Vì sao? c) Tam giác $ABC$ cần có thêm điều kiện gì để tứ giác $MPQN$ là hình chữ nhật?

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a,

Tứ giác `AMHN` có :

`hat{MAN}=90^o` (gt)

`hat{AMH}=90^o` (gt)

`hat{ANH}=90^o` (gt)

`->AMHN` là hình chữ nhật

`->AH=MN`

b,

`\triangle HNC` vuông tại `N` có : `NQ` là đường trung tuyến (gt)

`->NQ=1/2 CH` mà `HQ=1/2 CH` (gt)

`->NQ=HQ`

`->\triangle HQN` cân tại `Q`

`->hat{NHQ}=(180^o -hat{HQN})/2`

`-> hat{HQN}=180^o - 2hat{NHQ}`

Tương tự : `MP=1/2 BH` mà `PH=1/2 BH` (gt)

`->MP=PH`

`->\triangle MPH` cân tại `P`

`->hat{MPH}=180^o - 2hat{MHP}`

`AMHN` là hình chữ nhật (cmt) `->hat{MHN}=90^o`

`->hat{MHP}+hat{NHQ}=90^o`

`hat{MPH}+hat{NQH}=360^o - 2 . 90^o = 180^o`

`->` $MP//QN$

Lại có : `hat{HNQ}=hat{NHQ}` (Do `\triangle HNQ` cân tại `Q`)

Gọi `O` là giao của `MN,AH`

`AMHN` là hình chữ nhật (cmt)

`->O` là trung điểm của `AH,MN`

`->OH=ON`

`->hat{OHN}=hat{ONH}`

`hat{MNH}+hat{HNQ}=hat{OHN}+hat{NHQ}=90^o`

`->hat{MNQ}=90^o`

Tứ giác `MPQN` có : $MP//QN$ (cmt)

`->MPQN` là hình thang mà `hat{MNQ}=90^o` (cmt)

`->MPQN` là hình thang vuông

c,

`MPQN` là hình chữ nhật

`->` Hình thang vuông `MPQN` có `MP=QN`

`-> BH=CH`

`->H` là trung điểm của `BC`

`->AH` là đường trung tuyến mà `AH` là đường cao (gt)

`->\triangle ABC` vuông cân tại `A`

Vậy `\triangle ABC` vuông cân tại `A` để `MPQN` là hình chữ nhật