cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH . Gọi M là trung điểm BC . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc cuae M trên AB và AC a) Chứng minh 5 điểm A,D,M,H,e cừng thuộc mottj đường tròn b) chứng minh AH<DE c) nếu góc C=30 độ và AB=4cm .Tính bán kính đường tròn đi qua 5 điểm A,D,H,M,E

`a)`

`+ΔAHM` vuông tại `H(AH⊥BC)`

`->3` điểm `A,H,M` cùng thuộc đường tròn đường kính `AM` (1)

`+ΔADM` vuông tại `D(D` là hình chiếu vuông góc của `M` trên `AB )`

`->3` điểm `A,D,M` cùng  thuộc đường tròn đường kính `AM` (2)

`+ΔAEM` vuông tại `E(E` là hình chiếu vuông góc của `M` trên `AC )`

`->3` điểm `A,E,M` cùng thuộc đường tròn đường kính `AM`  (3)

Từ `(1), (2), (3)->5`  điểm `A,D,M,H,E` cùng thuộc một  đường tròn đường kính `AM`  

`b)`

`+,` Xét tứ giác `ADME` có

$\widehat{ADM}=$$\widehat{DAE}=$$\widehat{MEA}=90^o$

`-> ADME` là hình chữ nhật

`-> AM=DE` (2 đường chéo)

`+ΔAHM` vuông tại `H(AH⊥BC)`

`→AH<AM ` (Trong tam giác vuông cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn cạnh huyền)

Mà `AM=DE` (cmt)

`-> AH<DE`

`c)`

`+ΔABC` vuông tại `A` có 

`AB= BC.sinC` (Tỉ số lượng giác)

`->BC= (AB)/(sinC)=(4)/(sin30^o)=8(cm)`

Mà `M` là trung điểm của `BC`

`-> AM=(BC)/(2)=8/(2)=4(cm)`

Bán kính đường tròn đi qua 5 điểm `A,D,H,M,E=(AM)/(2)=4/(2)=2(cm)`