cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao đường phân giác BD(D thuộc AC) của tam giác ABC cắt AH tại E. tia phân giác của góc HAC cắt BC tại F ,AF cắt BD tại I. a, Chứng minh rằng :tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC và AB mũ hai =BH.BC b,Chứng minh rằng tam giác AEI đồng dạng tam giác BEH c, chứng minh AB.CF=BC.FH

a) Xét ∆ABC và ∆HBA có: 

∠ABC chung

∠BAC=∠BHA( =$90^{o}$ )

⇒∆ABC ∽ ∆HBA (g.g)

 ⇒$\frac{AB}{BH}$ =$\frac{BC}{AB}$

⇒ AB² = BH.BC 

b) Ta có: ∆ABC ∽ ∆HBA (cmt)

⇒∠BAH=BCA

mà ∠BAH+∠HAC=∠BAC=$90^{o}$

∠ABC+ACB= $90^{o}$

⇒ ∠ABH = ∠HAC

Mặt khác:

∠ABD = ∠DBC =$\frac{1}{2}$  ∠ABH

∠HAF = ∠FAC= $\frac{1}{2}$  ∠HAC

⇒∠EBH=∠EAI

Xét ΔAEI và ΔBEH có:

∠EBH=∠EAI (cmt)

∠BEH =∠AEI (đối đỉnh)

⇒ΔAEI ~ ΔBEH(g-g)

c) Vì AF là p/g ∠HAC

⇒$\frac{AH}{AC}$ = $\frac{HF}{FC}$  (1)

Xét ΔAHC và ΔBAC có:

∠C chung

∠AHC=∠BAC ( =$90^{o}$ )

⇒ΔAHC ~ ΔBAC (g-g)

⇒$\frac{AB}{BC}$ = $\frac{AH}{AC}$  (2)

Từ (1) và (2), suy ra:  $\frac{HF}{FC}$=$\frac{AB}{BC}$ ⇔ AB.CF=BC.FH (đpcm)

@thuyylinhh20042007

Nhớ vote cho mình 5*+ 1 tym+ câu trả lời hay nhất nha (CTLHN)

Giải thích các bước giải:

a.Ta có:

$AH\perp BC\to\widehat{AHB}=\widehat{BAC}=90^o$

$\to\Delta HBA\sim\Delta ABC(g.g)$

$\to\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{AB}{BC}\to AB^2=BH.BC$

b.Vì $BD$ là phân giác góc B, $AI$ là phân giác $\widehat{HAC}$
Mà $\widehat{HAC}=\widehat{ABH}(+\widehat{BAH}=90^o$

$\to \widehat{EAI}=\dfrac12\widehat{EAD}=\dfrac12\widehat{ABC}=\widehat{EBH}$

Mà $\widehat{AEI}=\widehat{BEH}$

$\to\Delta AEI\sim\Delta BEH(g.g)$

c.Vì $AF$ là phân giác $\widehat{HAC}$
$\to\dfrac{FH}{FC}=\dfrac{AH}{AC}$

Do $\widehat{AHC}=\widehat{CAB}=90^o$

$\to\Delta CAH\sim\Delta CBA(g.g)$

$\to \dfrac{AH}{AB}=\dfrac{CA}{BC}$

$\to\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{BC}$

$\to \dfrac{FH}{FC}=\dfrac{AB}{BC}$

$\to AB.BF=BC.FH$