Cho tam giác ABC vuông tại A , có AH là đường cao , AM là đường trung tuyến : A. Chứng minh góc HAB = MAC B. Gọi DE theo thứ tự là chân đường vuông góc , kẻ từ H đến AB , AC . CM AM vuông với DE

Đáp án:

↓↓↓

Giải thích các bước giải:

a) Xét ∆ vuông ABC có 

AM là trung tuyến 

⇒ AM = BM = CM 

⇒ ∆AMC cân tại M 

⇒ MAC = MCA 

Xét ∆ABH có : 

BHA + BAH + ABH = 180° 

⇒ BAH + ABH = 90° 

Xét ∆ABC có : 

ABC + BCA + BAC = 180° 

⇒ ABC + ACB = 90° 

⇒ BAH = MCA 

Mà MAC = MCA (cmt)

⇒ BAH = MAC 

b) Gọi I là giao điểm DE và AH 

Xét tứ giác DHEA có : 

BAC = 90° (gt)

MDA = 90° ( MD⊥AB )

HEA = 90° ( HE⊥AC)

⇒ DHEA là hình chữ nhật 

⇒ I là trung điểm DE và HA 

⇒ DI = IA 

⇒ $∆IDA$ cân tại $I$

⇒ $IDA = IAD (1)$

Vì $MAC = MCA (2) (cmt)$

Ta có : 

$DAI + MAC = 90° $

$MCA + MAC = 90° $

⇒ $DAI = MCA$ ( cùng phụ với MAC )(3)

Từ $(1) (2)(3) $

⇒$ DAI = MAC = MCA $

Vì $I$ là trung điểm $DE $

⇒ $∆IAE cân tại I $

⇒$ IAE = IEA $

Gọi giao điểm $DE,AM là O $

Xét $∆ADE$ có : 

$DAE + ADE + DEA = 180° $

⇒ $ADE + DEA = 90° .$

Mà $IAE = IEA (cmt)$

$MAC = ADI (cmt)$

⇒ $MAE + IEA = 90°$ 

Xét $∆IAE$ có : 

$IAE + IEA + AIE = 180° $

⇒ $AIE = 90° $

Hay $AM ⊥ DE(dpcm)$