Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=a, AC=a căn 3 và Am trung tuyến. Tính tích vô hướng vecto BA. AM

Đáp án:

$\vec{BA}.\vec{AM}=-\dfrac{a^2}{2}$

Lời giải:

+) Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta$ vuông $ABC$ có:

$BC^2=AB^2+AC^2=a^2+a^2=4a^2\Rightarrow BC=2a$

$AM$ là trung tuyến nên $M$ là trung điểm của $BC\Rightarrow BM=\dfrac{BC}{2}=a$

$\tan\widehat {ABC}=\dfrac{AC}{AB}=\sqrt3\Rightarrow \widehat{ABC}=60^o$

$\Delta ABM$ có $AB=BM=a$ và $\widehat{ABM}=60^o\Rightarrow \Delta ABM$ đều $\Rightarrow AM=a$

+) Cách khác để tính AM dựa vào công thức đường trung tuyến:

$AM^2=\dfrac{2(AB^2+AC^2)-BC^2}{4}=\dfrac{2(a^2+3a^2)-4a^2}{4}=a^2\Rightarrow AM=a$

$\vec{BA}.\vec{AM}=BA.AM.\cos(\vec{BA},\vec{AM})$

$(\vec{BA},\vec{AM})=(\vec{Ax},\vec{AM})$ (như hình vẽ)

$=\widehat{xAM}=\widehat{xAC}+\widehat{MAC}=90^o+30^o=120^o$

$\Rightarrow\vec{BA}.\vec{AM}=BA.AM.\cos(\vec{BA},\vec{AM})=a.a.\cos 120=-\dfrac{a^2}{2}$

Đáp án:

$\vec{BA}.\vec{AM}=\dfrac{-a^2}{2}$

Giải thích các bước giải:

Ta có: $\tan \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB}=\sqrt{3}\rightarrow \widehat{ABC}=60^o$

$\begin{split}\vec{BA}.\vec{AM}&=\vec{BA}.(\vec{AC}+\vec{CM})\\&=\vec{BA}.\vec{AC}+\vec{BA}.\vec{CM}\\&=0+\dfrac{1}{2}\vec{BA}.\vec{CB}\\&=\dfrac{1}{2}.BA.CB.\cos(\widehat{\vec{BA},\vec{CB}})\\&=\dfrac{1}{2}.a.2a.\cos120^o\\&=\dfrac{-a^2}{2}\end{split}$