Cho tam giác ABC vuông góc ở A;AB=6;AC=8;đường cao AH,phân giác BD gọi I là giao điểm của AH và BD.

a)Tính AD;DC.

b)Chứng minh AD×HB=AB×HI

Cứuuu:'((

Đáp án:

a) $AD=3; DC=5$

b) $AD.HB=AB.HI$

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle ABC$ vuông tại A:

$AB^2+AC^2=BC^2$ (định lý Pytago)

$\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$

$\triangle ABC$ có BD là phân giác (gt)

$\to\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}\\\to\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\\\to DA=\dfrac{3}{5}DC$

Ta có:

$DA+DC=AC=8\\\to\dfrac{3}{5}DC+DC=8\\\to 3DC+5DC=40\\\to 8DC=40\\\to DC=5\to DA=\dfrac{3}{5}.5=3$

b)

$\triangle ABC$ có BD là phân giác (gt)

$\to\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}\\\to\dfrac{DA}{BA}=\dfrac{DC}{BC}\,\,\,(1)$

$\triangle AHB$ có BI là phân giác (gt)

$\to\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{BH}{BA}\\\to\dfrac{IH}{BH}=\dfrac{IA}{BA}\,\,\,(2)$

$\triangle AHB$ vuông tại H:

$\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\triangle ABC$ vuông tại A:

$\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\to\widehat{HAB}=\widehat{ACB}$

Hay $\widehat{IAB}=\widehat{DCB}$

Xét $\triangle AIB$ và $\triangle CDB$:

$\widehat{ABI}=\widehat{CBD}$ (gt)

$\widehat{IAB}=\widehat{DCB}$ (cmt)

$\to\triangle AIB\backsim\triangle CDB$ (g.g)

$\to\dfrac{IA}{BA}=\dfrac{DC}{BC}\,\,\,(3)$

Từ (1), (2), (3)

$\to\dfrac{DA}{BA}=\dfrac{IH}{BH}\\\to DA.BH=BA.IH$

Hay $AD.HB=AB.HI$