Cho tam giác ABC. Vẽ các đường cao AE và CF cắt nhau tại H. Lấy M, N, P và Q là trung điểm AC, BC, HB và HA. CMR: a) MN // PQ và MQ = NP b) MN vuông góc với MQ

Đáp án:

a) $MN//PQ, MQ=NP$

b) $MN\bot MQ$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ABC$:

M là trung điểm của AC (gt)

N là trung điểm của BC (gt)

$\to$ MN là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to MN//AB, MN=\dfrac{1}{2}AB$

Xét $\triangle HAB$:

P là trung điểm của HB (gt)

Q là trung điểm của HA (gt)

$\to$ PQ là đường trung bình của $\triangle HAB$

$\to PQ//AB, PQ=\dfrac{1}{2}AB$

$\to MN//PQ, MN=PQ$

$\to$ Tứ giác MNPQ là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

$\to MQ=NP$

b)

Xét $\triangle HAC$:

M là trung điểm của AC (gt)

Q là trung điểm của HA (gt)

$\to$ MQ là đường trung bình của $\triangle HAC$

$\to MQ//CF$

Lại có: $MN//AB$ (cmt), $AB\bot CF$ (gt)

$\to MN\bot MQ$