Cho tam giác ABC và trọng tâm G. Chứng minh tam giác ABG, BCG, CAG có cùng diện tích Giúp em với ạ !!

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Gọi M , N là trung điểm của BC, AC
Ta có: AM trung tuyến của ABC nên SABM = SACM = 1/2. SABC.
Do G là trọng tâm của ABC nên ta có : AG = 2/3 AM , GM = 1/3. AM
Xét ba tam giác ABG, MBG và ABM có cùng
đường cao hạ từ B và AG=Z/3AM,GM= 1/3. AM
Nên : SABG = 2/3. SABM = 2/3.1/2.8ABC = 1/3. SABG
SBGM = 1/3. SABM = 1/3.1/2. SABC = 1/6. SABC.
Tương tự ta có: SACG = 1/3. SABC . SCGM = 1/6. SABC .
Suy ra: SBGC = SBGM + SCGM = 1/3. SABC . Vậy: SAGB = SBGC = SAGC .

Bài này em tự vẽ hình nhé em: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Khi đó ta có: AM là trung tuyến của tam giác ABC nên ta có: \({S_{ABM}} = {S_{ACM}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}.\) Do G là trọng tâm tam giác của tam giác ABC nên theo tính chất trọng tâm ta có: \(AG = \frac{2}{3}AM,\,\,GM = \frac{1}{3}AM.\) Xét các tam giác ABG, MBG và ABM có cùng đường cao hạ từ B và \(AG = \frac{2}{3}AM,\,\,GM = \frac{1}{3}AM.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ABG}} = \frac{2}{3}{S_{ABM}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.\\{S_{BGM}} = \frac{1}{3}{S_{ABM}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.{S_{ABC}} = \frac{1}{6}{S_{ABC}}.\end{array}\) Tương tự ta có: \({S_{ACG}} = \frac{1}{6}{S_{ABC}}.\) \( \Rightarrow {S_{BGC}} = {S_{AGC}} = {S_{AGB}}.\)