Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Gọi A', B', C' lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AC a) Chứng minh AA', BB', CC' đồng quy tại một điểm N b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC GIÚP MÌNH VỚI, MÌNH CẦN GẤP LẮM

Bạn tham khảo bài này nhé.

Nội dung đề bài giống như nhau, khác cách đặt tên điểm

Đề:

CHO TAM GIÁC ABC VÀ MỘT ĐIỂM M TÙY Ý Ở TRONG TAM GIÁC . GỌI D,E,F LẦN LƯỢT LÀ TRUNG ĐIỂM BC,CA,AB. GỌI H, I,K THỨ TỰ LÀ ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA M QUA D,E,F . CHỨNG MINH

a) BA ĐƯỜNG THẲNG AH, BI , CK ĐỒNG QUY TẠI MỘT ĐIỂM O

b) KHI M DI ĐỘNG TRONG TAM GIÁC THÌ ĐƯỜNG THẲNG OM LUÔN ĐI QUA 1 ĐIỂM CỐ ĐỊNH

Lời giải

a) $H$ là điểm đối xứng của $M$ qua $D$

$\Rightarrow D$ là trung điểm của $MH$

$D$ là trung điểm $BC$

Tứ giác $BMCH$ có hai đường chéo $MH$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm $D$ mỗi đường

$\Rightarrow BMCH$ là hình bình hành

$\Rightarrow BH\parallel=MC$ (*)

Tương tự $AMCI$ là hình bình hành

$\Rightarrow AI\parallel=MC$ (**)

Từ (*) và (**) ta có: $BH\parallel=AI$

$\Rightarrow AIHB$ là hình bình hành

$\Rightarrow AH$ cắt $BI$ tại trung điểm $BI$

Tương tự $KIBC$ là hbh

$\Rightarrow KC$ cắt $BI$ tại trung điểm $BI$

Do đó $AH,KC,BI$ đồng quy tại điểm $O$ ( trung điểm $BI$)

b) Gọi $AM \cap OM =G$

Do $OA=OH,$ $DH=DM$

$\Rightarrow OD$ là đường trung bình $\Delta AHM$

$\Rightarrow OD\parallel=\dfrac{1}{2}AM$

Áp dụng Tales

$\Rightarrow \dfrac{AG}{GD}=2$

Mà $D$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\Rightarrow G$ cố định