Cho tam giác ABC, trực tâm H, M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh MH→.MA→=1/4. BC bình phương

Vì $M$ là trung điểm của $BC$
$\Rightarrow\begin{cases}\vec{AM}=\dfrac12(\vec{AB}+\vec{AC})\\\vec{HM}=\dfrac12(\vec{HB}+\vec{HC})\end{cases}$

(quy tắc hình bình hành)

Có

$\vec{MH}.\vec{MA}=\vec{AM}.\vec{HM}$

$=\dfrac14(\vec{AB}+\vec{AC})(\vec{HB}+\vec{HC})$

$=\dfrac14(\vec{AB}.\vec{HB}+\vec{AC}.\vec{HB}+\vec{AB}.\vec{HC}+\vec{AC}.\vec{HC})$

$=\dfrac14(\vec{AB}.\vec{HB}+\vec{AC}.\vec{HC})$ (do $AC\bot HB\rightarrow\vec{AC}.\vec{HB}=\vec 0)$

$=\dfrac14[\vec{HB}(\vec{AC}-\vec{BC})+\vec{HC}(\vec{AB}+\vec{BC})]$

$=\dfrac14(\vec{HB}.\vec{AC}-\vec{HB}.\vec{BC}+\vec{HC}.\vec{AB}+\vec{HC}.\vec{BC})$

$=\dfrac14(-\vec{HB}.\vec{BC}+\vec{HC}.\vec{BC})$

$=\dfrac14.\vec{BC}(\vec{HC}-\vec{HB})$

$=\dfrac14.BC^2$ (đpcm).