cho tam giác ABC thoả mãn 2(a^3+b^3+c^3)=a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2) cm tam giác ABC đều

Giải thích các bước giải:

a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên a,b,c>0

Ta có:

\[\begin{array}{l}
2\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) = a\left( {{b^2} + {c^2}} \right) + b\left( {{c^2} + {a^2}} \right) + c\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {{a^3} - {a^2}b} \right) + \left( {{a^3} - {a^2}c} \right) + \left( {{b^3} - {b^2}a} \right) + \left( {{b^3} - {b^2}c} \right) + \left( {{c^3} - {c^2}b} \right) + \left( {{c^3} - {c^2}a} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow {a^2}\left( {a - b} \right) + {a^2}\left( {a - c} \right) + {b^2}\left( {b - a} \right) + {b^2}\left( {b - c} \right) + {c^2}\left( {c - a} \right) + {c^2}\left( {c - b} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} - {b^2}} \right) + \left( {a - c} \right)\left( {{a^2} - {c^2}} \right) + \left( {b - c} \right)\left( {{b^2} - {c^2}} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2}\left( {a + b} \right) + {\left( {a - c} \right)^2}\left( {a + c} \right) + {\left( {b - c} \right)^2}\left( {b + c} \right) = 0\\
a,b,c > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {a - b} \right)^2}\left( {a + b} \right) = 0\\
{\left( {a - c} \right)^2}\left( {a + c} \right) = 0\\
{\left( {b - c} \right)^2}\left( {b + c} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a - b = 0\\
a - c = 0\\
b - c = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c
\end{array}\]

Vậy tam giác ABC là tam giác đều.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên a,b,c>0

Ta có:

2(a3+b3+c3)=a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)⇔(a3−a2b)+(a3−a2c)+(b3−b2a)+(b3−b2c)+(c3−c2b)+(c3−c2a)=0⇔a2(a−b)+a2(a−c)+b2(b−a)+b2(b−c)+c2(c−a)+c2(c−b)=0⇔(a−b)(a2−b2)+(a−c)(a2−c2)+(b−c)(b2−c2)=0⇔(a−b)2(a+b)+(a−c)2(a+c)+(b−c)2(b+c)=0a,b,c>0⇒⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩(a−b)2(a+b)=0(a−c)2(a+c)=0(b−c)2(b+c)=0⇔⎧⎪⎨⎪⎩a−b=0a−c=0b−c=0⇔a=b=c2(a3+b3+c3)=a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)⇔(a3−a2b)+(a3−a2c)+(b3−b2a)+(b3−b2c)+(c3−c2b)+(c3−c2a)=0⇔a2(a−b)+a2(a−c)+b2(b−a)+b2(b−c)+c2(c−a)+c2(c−b)=0⇔(a−b)(a2−b2)+(a−c)(a2−c2)+(b−c)(b2−c2)=0⇔(a−b)2(a+b)+(a−c)2(a+c)+(b−c)2(b+c)=0a,b,c>0⇒{(a−b)2(a+b)=0(a−c)2(a+c)=0(b−c)2(b+c)=0⇔{a−b=0a−c=0b−c=0⇔a=b=c

Vậy tam giác ABC là tam giác đều.

Giải thích các bước giải: