Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . H là trực tâm của tam giác ABC. a) Gọi D là điểm đối xứng của A qua O . C/m: vecto BD = vecto HC b) GỌI k là trung điểm của AH và I là trung điểm của BC . C/m : vecto OK = vecto IH

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Do $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$

$\Rightarrow AD$ là đường kính $(O)$

$\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O)$)

$\Rightarrow AB\bot BD$ và $AC\bot CD$ (1)

mà $H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\Rightarrow AB\bot CH$ và $AC\bot BH$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BD\parallel CH$ và $CD\parallel BH$

$\Rightarrow $ tứ giác $BHCD$ là hình bình hành (tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song)

$\Rightarrow \vec{BD}=\vec{HC} $(đpcm)

b) Tứ giác $BHCD$ là hình bình hành

suy ra giao điểm của đường chéo là trung điểm mỗi đường

$I$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow I$ là trung điểm của $HD$

$\Rightarrow \vec{IH}=\dfrac{1}{2}\vec{DH}$ (3)

Xét $\Delta AHD$ có $KO$ là đường trung bình

$\Rightarrow OK\parallel=\dfrac{1}{2}HD$

$\Rightarrow \vec{OK}=\dfrac{1}{2}\vec{HD}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\vec{OK}=\vec{IH} $ (đpcm)