Cho tam giác ABC, M điểm bất kì,G là trọng tâm. Chứng minh MA^2 + MB^2 +MC^2 = 3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2

Giải thích các bước giải:

 G là trọng tâm tam giác ABC nên 

\[\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \]

Ta có:

\[\begin{array}{l}
M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\\
 = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\\
 = {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\\
 = M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA}  + G{A^2} + M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB}  + G{B^2} + M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC}  + G{C^2}\\
 = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 2\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right)\\
 = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow 0 \\
 = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}
\end{array}\]