Cho tam giác ABC. D đối xứng B qua C. Trọng tâm G, K là điểm thỏa vecto BK=mBA. Tìm m để D,G,K thẳng hàng

Đáp án:

$m = \dfrac{2}{5}$

Giải thích các bước giải:

\(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {BC} \) \( = \overrightarrow {AB}  + 2\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) =  - \overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC} \)

\(\overrightarrow {AG}  = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

\(\overrightarrow {AK}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BK}  = \overrightarrow {AB}  + m\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {AB}  - m\overrightarrow {AB}  = \left( {1 - m} \right)\overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AG}  =  - \overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC}  - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC}  =  - \dfrac{4}{3}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{5}{3}\overrightarrow {AC} \)

\(\overrightarrow {KD}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AK}  =  - \overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC}  - \left( {1 - m} \right)\overrightarrow {AB}  = \left( {m - 2} \right)\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC} \)

Ba điểm \(D,G,K\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {GD} ,\overrightarrow {KD} \) cùng phương

\( \Leftrightarrow \dfrac{{m - 2}}{{ - \dfrac{4}{3}}} = \dfrac{2}{{\dfrac{5}{3}}} \Leftrightarrow 5\left( {m - 2} \right) = 2.\left( { - 4} \right) \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{5}\)