Cho tam giác ABC có M,I lần lượt là trung điểm của BC,AM và D là điểm thoả mãn vectơ AC bằng 3 lần vectơ AD.Chứng mình B,I,D thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

Vì M là trung điểm BC -> \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AM} \)

Vì I là trung điểm AM -> \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BM}  = 2\overrightarrow {BI} \)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{3\overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AC} }\\
{\overrightarrow {AI} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {ID} {\rm{ \;}} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} }\\
{\frac{{\overrightarrow {AM} }}{2} + \overrightarrow {ID} {\rm{ \;}} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} }\\
{\overrightarrow {ID} {\rm{ \;}} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} - \frac{{\overrightarrow {AM} }}{2} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} - \frac{{\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} }}{4} = \frac{1}{{12}}\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}}}
\end{array}\)

\(\overrightarrow {BI}  = \frac{{\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BM} }}{2} = \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{{\overrightarrow {BC} }}{4} = \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC} ) = \frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \)

-> \(\overrightarrow {ID}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BI} \)

-> B,I,D thẳng hàng