cho tam giác abc có góc b= 60 độ , c =45 độ , BC =a . 2) chứng minh côsin 75 độ = (căn 6 - căn 2 )\ 4

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$\widehat{A}=180^\circ-\widehat{B}-\widehat{C}=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ$

Áp dụng định lý sin ta có:

$\dfrac{a}{\sin \widehat{A}}=\dfrac{b}{\sin \widehat{B}}\\ \Rightarrow b=\dfrac{a}{\sin \widehat{A}}.\sin \widehat{B}=\dfrac{a}{\sin 75^\circ}.\sin 60^\circ=\dfrac{a\sqrt{3}}{2\sin 75^\circ}\\ \Rightarrow c=\dfrac{a}{\sin \widehat{A}}.\sin \widehat{C}=\dfrac{a}{\sin 75^\circ}.\sin 45^\circ=\dfrac{a\sqrt{2}}{2\sin 75^\circ}$

Áp dụng định lý cos ta có:

$\cos \widehat{A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ \Leftrightarrow \cos 75^\circ=\dfrac{\dfrac{3a^2}{4 \sin^275^\circ}+\dfrac{a^2}{2 \sin^275^\circ}-a^2}{2.\dfrac{a\sqrt{3}}{2\sin 75^\circ}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2\sin 75^\circ}}\\ \Leftrightarrow \cos 75^\circ=\dfrac{3+2-4 \sin^275^\circ}{2\sqrt{6}}\\ \Leftrightarrow \cos 75^\circ= \dfrac{5-4(1-\cos^275^\circ)}{2\sqrt{6}}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt{6}\cos 75^\circ=1+4\cos^275^\circ\\ \Leftrightarrow 4\cos^275^\circ-2\sqrt{6}\cos 75^\circ+1=0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \cos 75^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \\ \cos 75^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{array} \right.\\ 15<30\\ \Rightarrow \sin 15^\circ<\sin 30^\circ\\ \Leftrightarrow \cos 75^\circ<\cos 60^\circ\\ \Leftrightarrow \cos 75^\circ< \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \cos 75^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.$