Cho tam giác ABC có các cạnh bằng a, b, c và trọng tâm G thỏa mãn: a.GA+b.GB+c.GC=0 (thêm véc tơ vào giúp em ạ) Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều

G là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  =  - \overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC} \)

Khi đó

\[\begin{array}{l}a\overrightarrow {GA}  + b\overrightarrow {GB}  + c\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow a\left( { - \overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC} } \right) + b\overrightarrow {GB}  + c\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \left( { - a + b} \right)\overrightarrow {GB}  + \left( { - a + c} \right)\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left( {b - a} \right)\overrightarrow {GB}  = \left( {a - c} \right)\overrightarrow {GC} \end{array}\]

Mà \(\overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {GC} \) không cùng phương nên \(b - a = a - c = 0 \Leftrightarrow a = b = c\)