Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác, d là khoảng cách từ I đến BC. Chứng minh Sabc = (a+b+c)/2.d

Từ $I$ kẻ các đường cao: $IH,IK,IM$ tương ứng với $AB,AC,BC$

$I$ là giao của ba đường phân giác $ΔABC$

$⇒I$ cách đều các cạnh $AB,AC,BC$

$⇒IH=IK=IM=d$

Ta có:

$S_{AIC}=\dfrac{1}{2}.IK.AC=\dfrac{1}{2}.d.b$

$S_{AIB}=\dfrac{1}{2}.IH.AB=\dfrac{1}{2}.d.c$

$S_{BIC}=\dfrac{1}{2}.IM.BC=\dfrac{1}{2}.d.a$

$⇒S_{ABC}=S_{AIC}+S_{AIB}+S_{BIC}$

$⇒S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.d.b+\dfrac{1}{2}.d.c+\dfrac{1}{2}.d.a$

$⇒S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.d.(a+b+c)$

$⇒S_{ABC}=\dfrac{(a+b+c)}{2}.d$

$→$ đpcm