Cho tam giác ABC có A=(5;3) B =(2:-1) C=(-1;5) a, tìm tọa độ trung điểm M của cạnh BC. Tính đọ dài đường trung tuyến hạ từ A của tam giác ABC b, tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC

Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)\left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{{2 - 1}}{2} = \frac{1}{2}\\
{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{{ - 1 + 5}}{2} = 2
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2};2} \right)\\
 \Rightarrow AM = \sqrt {{{\left( {5 - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {85} }}{2}\\
b)\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 4} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( { - 6;2} \right)\\
H\left( {x;y} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {BH}  = \left( {x - 2;y + 1} \right)\\
\overrightarrow {CH}  = \left( {x + 1;y - 5} \right)
\end{array} \right.\\
Do:\left\{ \begin{array}{l}
BH \bot AC\\
CH \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\\
\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB}  = 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 6\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y + 1} \right) = 0\\
 - 3\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y - 5} \right) = 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 6x + 2y =  - 14\\
 - 3x - 4y =  - 17
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 2
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow H\left( {3;2} \right)
\end{array}$