Cho tam giác ABC có A (3;-5), B (-3;3), C (-1;-2). Tìm M thuộc BC sao cho M cách đều A và C
2 câu trả lời
Đáp án:
$M(\dfrac{2}{23};\dfrac{-217}{46})$
Giải thích các bước giải:
Vì $M\in BC$ và cách đều A và C
$ \Rightarrow AM=CM$
Gọi tọa độ điểm là $M(x;y)$
$\overrightarrow{AM}=(x-3;y+5)\\ \Rightarrow AM=\sqrt{(x-3)^2+(y+5)^2}=\sqrt{x^2+y^2-6x+10y+34}\\ \overrightarrow{CM}=(x+1;y+2)\\ \Rightarrow CM=\sqrt{(x+1)^2+(y+2)^2}=\sqrt{x^2+y^2+2x+4y+5}\\ Mà\ CM=BM\\ \Rightarrow \sqrt{x^2+y^2-6x+10y+34}=\sqrt{x^2+y^2+2x+4y+5}\\ \Leftrightarrow x^2+y^2-6x+10y+34=x^2+y^2+2x+4y+5\\ \Leftrightarrow 8x-6y=29\ (1)\\ M\in BC\\ \overrightarrow{BM};\ \overrightarrow{MC}\text{cùng phương}\\ \overrightarrow{BM}=(x+3;y-3)\\ \overrightarrow{MC}=(-1-x;-2-y)\\ \Rightarrow \dfrac{x+3}{-x-1}=\dfrac{y-3}{-y-2}\\ \Leftrightarrow 5x+2y=-9\ (2)\\ $
$Từ\ (1)(2)\Rightarrow \begin{cases}x=\dfrac{2}{23}\\y=\dfrac{-217}{46}\end{cases}\\ M(\dfrac{2}{23};\dfrac{-217}{46})$
Vì không biết bạn có học tới Phương trình đường thẳng chưa nên mình sẽ giải theo một cách khác.
Giải.
Vì $M$ cách đều $A$ và $C$ nên $M$ nằm trên đường trung trực của $AC$
Gọi $I$ là trung điểm của $AC$, ta có tọa độ $I(1;-3,5)$
Gọi tọa độ điểm $M$ là $M(x_M;y_M)$, ta có: $\overrightarrow{IM}=\left ( x_M-1;y_M+3,5 \right );\overrightarrow{BM}=\left ( x_M+3;y_M-3 \right )$
$\overrightarrow{AC}=\left ( -4;3 \right );\overrightarrow{BC}=\left ( 2;-5 \right )$
Ta có:
$\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AC}=0\\
\Leftrightarrow \left ( x_M-1;y_M+3,5 \right ).\left ( -4;3 \right )=0\\
\Leftrightarrow -4\left ( x_M-1 \right )+3\left ( y_M+3,5 \right )=0\\
\Leftrightarrow -4x_M+3y_M+14,5=0$. $(1)$
Mặt khác, $M\in BC$ nên $\overrightarrow{BM},\overrightarrow{BC}$ cùng phương, suy ra:
$\dfrac{ x_M+3}{2}=\dfrac{y_M-3}{-5}\\ \\ \Leftrightarrow 5x_M+2y_M+9=0$. $(2)$
Từ $(1),(2)$ ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}
-4x_M+3y_M+14,5=0\\
5x_M+2y_M+9=0
\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}
x_M=\frac{2}{23}\\
y_M=-\frac{217}{46}
\end{cases}$
Vậy $M \left (\dfrac{2}{23}; -\dfrac{217}{46} \right )$
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm
