Cho tam giác A,B,C có AB=6; AC=8; BC=11.Trên AB lấy điểm M sao cho AM=2.Trên AC lấy điểm N sao cho AN=4.Tính AM.AN (tích vô hướng)

Đáp án:

\( - \dfrac{7}{4}\)

Giải thích các bước giải:

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AN}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

Khi đó \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN}  = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} .\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC}  = \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).

\(B{C^2} = {\overrightarrow {BC} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {AB} ^2} - 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \)

\( \Leftrightarrow {11^2} = {8^2} + {6^2} - 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  =  - \dfrac{{21}}{2}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN}  = \dfrac{1}{6}.\left( { - \dfrac{{21}}{2}} \right) =  - \dfrac{7}{4}\)