cho số nguyên tố p>3 và 2 số nguyên dương a,b sao cho: p^2+a^2=b^2.Chứng minh a chia hết cho 12

`p^2+a^2=b^2`

`<=> p^2 = b^2-a^2`

`<=>p^2=(b-a)(b+a)`

`<=> (b-a)(b+a)=p^2 . 1 = 1 . p^2=p.p`

Do `a,b\in NN^**`

`->b+a>b-a` mà số nguyên tố `p>3`

`->(b-a)(b+a)=p^2 . 1`

`->b+a=p^2, b-a=1`

`-> b+a-b+a = p^2-1`

`->2a=p^2-1`

`->2a=(p-1)(p+1)`

Do `p-1,p+1` là tích 2 số chẵn liên tiếp (Do `p` là số lẻ vì `p` là nguyên tố `>3`)

`-> (p-1)(p+1)\vdots 8`

`->2a\vdots 8`

`->a\vdots 4(1)`

Do `p` là số nguyên tố và `p>3`

`->p` không chia hết `3`

`-> p-1\vdots 3` hoặc `p+1\vdots 3`

Không mất tính tổng quát giả sử `p-1\vdots 3`

`-> 2a\vdots 3` mà `(2;3)=1`

`->a\vdots 3(2)`

`(1)(2)` ta thấy `(4;3)=1`

`->a\vdots (4.3)`

`->a\vdots 12`