Cho pt x^2+mx-2=0. Tìm giá trị m để pt có 2 no x1,x2 sao cho bt T=x^2(1)+x^2(2)-2(x1+x2) đạt giá trị nhỏ nhất

Đáp án: m=-1

Giải thích các bước giải:

$\eqalign{   & {x^2} + mx - 2 = 0  \cr    & \vartriangle  = {m^2} - 4.( - 2) = {m^2} + 8 \cr} $

Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì 

$$\vartriangle  > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 8 > 0$(luôn đúng với mọi m) 

Khi đó theo định lý Viet ta có:

$\eqalign{   & {x_1} + {x_2} =  - m  \cr    & {x_1}.{x_2} =  - 2 \cr} $

Ta có:

$\eqalign{   & T = {x_1}^2 + {x_2}^2 - 2({x_1} + {x_2})  \cr    &  = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} - 2({x_1} + {x_2})  \cr    &  = {( - m)^2} - 2.( - 2) - 2( - m)  \cr    &  = {m^2} + 2m + 4  \cr    &  = {(m + 1)^2} + 3 \cr} $

Vì ${(m + 1)^2} \geqslant 0\forall m$

=> ${(m + 1)^2} + 3 \geqslant 3\forall m$ hay $T \geqslant 3\forall m$

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi m+1=0

<=> m=-1

Vậy m=-1 tmđb

Để phương trình có nghiệm:

$\Delta=m^2-4.(-2)=m^2+8\ge 0$ (luôn đúng) 

$\to$ luôn có nghiệm 

Theo Viet: 

$x_1+x_2=-m$

$x_1x_2=2$

$T=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2(x_1+x_2)$

$= m^2+2m-4$

$= m^2+2m+1-5$

$=(m+1)^2-5\ge -5$

$\min T=-5\Leftrightarrow m=-1$