Cho pt x^2 - 2mx + m^2 - 2m + 1 = 0 Định m để pt có 2 nghiệm thoả mãn 1/x1 + 1/x2 = 1/2(x1+x2)
2 câu trả lời
Đáp án:
$m=1+\sqrt{2}$
Giải thích các bước giải:
Phương trình có hai nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - \left( {{m^2} - 2m + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 2m - 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{2}\)
Với \(m \ge \dfrac{1}{2}\) thì phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\). Theo Viet ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2}\end{array} \right.\).
Từ điều kiện bài toán ta thấy \({x_1}{x_2} \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\).
Ta có: \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{1}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2}\) \( \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {\dfrac{1}{{{x_1}{x_2}}} - \dfrac{1}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 0\\\dfrac{1}{{{x_1}{x_2}}} - \dfrac{1}{2} = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 0\\{x_1}{x_2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m = 0\\{\left( {m - 1} \right)^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\left( {loai} \right)\\m = 1 + \sqrt 2 \left( {TM} \right)\\m = 1 - \sqrt 2 \left( {loai} \right)\end{array} \right.\)
Vậy \(m = 1 + \sqrt 2 \) .
