cho pt x^2 -2mx+2m-1 =0 a, xác định m để phương trình m có nghiệm b, tìm m để pt có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia

Đáp án:

a)  $m\in\mathbb{R}$

b)  $\left[\begin{array}{1}m=\dfrac{3}{2}\\m=\dfrac{3}{4}\end{array}\right.$

Giải thích các bước giải:

${{x}^{2}}-2mx+2m-1=0$

a)  Phương trình có nghiệm khi $\Delta '\ge 0$

$\Leftrightarrow {{\left( -m \right)}^{2}}-\left( 2m-1 \right)\ge 0$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m+1\ge 0$

$\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}\ge 0$ (luôn đúng $\forall m\in \mathbb{R}$)

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$

b)  Vì phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$

Nên theo hệ thức Vi-et, ta có $\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=2m-1\end{cases}$

Phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia $\Leftrightarrow {{x}_{1}}=2{{x}_{2}}$

Ta giải hệ $\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1=2x_2\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}2x_2+x_2=2m\\x_1=2x_2\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}3x_2=2m\\x_1=2x_2\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x_2=\dfrac{2m}{3}\\x_1=\dfrac{4m}{3}\end{cases}$

Thay vào ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m-1$

Ta được $\dfrac{2m}{3}\cdot \dfrac{4m}{3}=2m-1$

$\Leftrightarrow \dfrac{8{{m}^{2}}}{9}=2m-1$

$\Leftrightarrow 8{{m}^{2}}=18m-9$

$\Leftrightarrow 8{{m}^{2}}-18m+9=0$

$\Leftrightarrow \left( 2m-3 \right)\left( 4m-3 \right)=0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{1}m=\dfrac{3}{2}\\m=\dfrac{3}{4}\end{array}\right.$

Giải thích các bước giải:

`a)` + Phương trình có `a=1 \ne 0` có 2 nghiệm `x_1 ;x_2 <=>Δ'` $\geqslant$ `0`

`=>(-m)^2 -(2m-1)` $\geqslant$ `0`

`<=>m^2 -2m+1` $\geqslant$ `0`

`<=>(m-1)^2` $\geqslant$ `0` luôn đúng `AA m`

`=>` phương trình luôn có 2 nghiệm `x_1 ;x_2` với mọi m.

`b)`+ Giả sử: `x_1 =2x_2`

+ Theo Vi-ét và đề bài ta có: $\begin{cases}x_1 +x_2 =2m(1)\\x_1 .x_2 =2m-1(2) \\x_1 =2x_2 (3)\end{cases}$

+ Giải phương trình `(1)` và `(3)` ta được:

$\begin{cases}x_1 +x_2 =2m\\x_1 =2x_2\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}x_1 +x_2 =2m\\x_1 -2x_2 =0\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}3x_2 =2m\\x_1 =2x_2\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}x_2 =\dfrac{2m}{3}\\x_1 =2x_2\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}x_2 =\dfrac{2m}{3}\\x_1 =2.\dfrac{2m}{3}\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}x_2 =\dfrac{2m}{3}\\x_1 =\dfrac{4m}{3}\end{cases}$

+ Thay `x_1 =(4m)/3 ;x_2 =(2m)/3` vào phương trình `(2)` ta được:

`(4m)/3 .(2m)/3 =2m-1`

`<=>(8m^2)/9 =2m-1`

`=>8m^2 =9.2m-9.1`

`<=>8m^2 -18m+9=0`

`<=>8m^2 -6m-12m+9=0`

`<=>2m(4m-3)-3(4m-3)=0`

`<=>(2m-3)(4m-3)=0`

`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m=\dfrac{3}{2}\\m=\dfrac{3}{4}\end{array} \right.\) 

Vậy ... là giá trị cần tìm.