Cho phương trình x2 - (2m-3) x+m2 - 2m+2=0 Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 x2 và x1 -2x2 =0

Đáp án:

m = 0 hoặc m =  - 6.

Giải thích các bước giải:

Phương trình \({x^2} - \left( {2m - 3} \right)x + {m^2} - 2m + 2 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta  > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 3} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 2m + 2} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 12m + 9 - 4{m^2} + 8m - 8 > 0\\ \Leftrightarrow  - 4m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 3\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 2m + 2\end{array} \right.\) (*)

Theo bài ra ta có: \({x_1} - 2{x_2} = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 2{x_2}\)

Thay vào hệ (*) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}2{x_2} + {x_2} = 2m - 3\\2{x_2}.{x_2} = {m^2} - 2m + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \dfrac{{2m - 3}}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2x_2^2 = {m^2} - 2m + 2\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thay (1) vào (2) ta có:

\(\begin{array}{l}2.{\left( {\dfrac{{2m - 3}}{3}} \right)^2} = {m^2} - 2m + 2\\ \Leftrightarrow 2\dfrac{{4{m^2} - 12m + 9}}{9} = {m^2} - 2m + 2\\ \Leftrightarrow 8{m^2} - 24m + 18 = 9{m^2} - 18m + 18\\ \Leftrightarrow {m^2} + 6m = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 6\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy m = 0 hoặc m =  - 6.