Cho phương trình x2+(2m+3)x+3m-1=0 a) Tìm m để phương trình có tổng bình phương các nghiệm bằng 21 b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng nhỏ hơn 1

Đáp án:

\(\begin{array}{l}
a)\,\,\left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m =  - \frac{5}{2}
\end{array} \right.\\
b)\,\,m > \frac{3}{5}
\end{array}\)

Giải thích các bước giải:

\({x^2} + \left( {2m + 3} \right)x + 3m - 1 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4\left( {3m - 1} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 12m + 9 - 12m + 4 > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 13 > 0\,\,\forall m.\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( * \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\)  với mọi \(m.\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2m - 3\\{x_1}{x_2} = 3m - 1\end{array} \right..\)

a) Phương trình có tổng bình phương các nghiệm bằng \(21\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 = 21\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 21\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2m - 3} \right)^2} - 2\left( {3m - 1} \right) = 21\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 12m + 9 - 6m + 2 = 21\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 6m - 10 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {2m + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\2m + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - \frac{5}{2}\end{array} \right..\end{array}\)

b) Phương trình có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2} < 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \le 2\\\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \le 2\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m - 3 \le 2\\3m - 1 + 2m + 3 + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m \ge  - 5\\5m > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge  - \frac{5}{2}\\m > \frac{3}{5}\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow m > \frac{3}{5}.\end{array}\)