Cho phương trình: x² - 2(m-1)x + m² -3 = 0 với m là tham số. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 sao cho: A = 2(x1² + x2²) - x1.x2 đạt giá trị lớn nhất

Đáp án:

Không tồn tại m thỏa mãn bài toán.

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\\
Pt\,\,\left( * \right)\,\,\,co\,\,hai\,\,nghiem\,\,\,phan\,\,biet\\
 \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - {m^2} + 3 > 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 3 > 0\\
 \Leftrightarrow 2m < 4\\
 \Leftrightarrow m < 2.\\
Theo\,\,he\,\,thuc\,\,Vi - et\,\,ta\,\,co:\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m - 2\\
{x_1}{x_2} = {m^2} - 3
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow A = 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - {x_1}{x_2} = 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 5{x_1}{x_2}\\
 = 2{\left( {2m - 2} \right)^2} - 5\left( {{m^2} - 3} \right)\\
 = 8{m^2} - 16m + 8 - 5{m^2} + 15\\
 = 3{m^2} - 16m + 23\\
Xet\,\,ham\,\,\,so:\,\,\left( C \right):y = 3{x^2} - 16x + 23\,\,\,\,voi\,\,x < 2\\
Toa\,\,do\,\,dinh\,\,cua\,\,parbol\,\,\left( C \right):\,\,\,I\left( {\frac{8}{3};\,\,\frac{5}{3}} \right)\\
Bang\,\,bien\,\,thien\,\,\,nhu\,\,\,hinh\,\,\,ben\,\,duoi.\\
Dua\,\,\,vao\,\,\,BBT\,\,\,ta\,\,thay\,\,khong\,\,ton\,\,tai\,\,\,m < 2\,\,\,de\,\,\,A\,\,\,dat\,\,GTLN.
\end{array}\)