Cho phương trình x ³ – mx² + 2mx-8=0.Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm âm và hai nghiệm dương.

Đáp án: không tìm được $m$ thỏa mãn.

Lời giải rất hay khi ngồi cạnh sếp:

Xét phương trình

$x^3 - mx^2 + 2mx - 8 = 0$

$<-> (x-2)[x^2 + (2-m)x+4] = 0$

Vậy $x = 2$ hoặc

$x^2 + (2-m)x + 4 = 0$

Để phương trình đã cho có 3 nghiệm trong đó có một nghiệm âm và hai nghiệm dương thì phương trình bậc 2 trên phải có 1 nghiệm âm và một nghiệm dương, tức có 2 nghiệm trái dấu.

Ta có

$\Delta = (2-m)^2 - 4.4 = m^2 - 4m - 12$

Để ptrinh có 2 nghiệm phân biệt thì $\Delta > 0$ hay

$m^2 - 4m - 12 > 0$
Vậy $m >6$ hoặc $m < -2$.

Áp dụng Viet với 2 nghiệm $x_1, x_2$ ta có

$x_1 . x_2 = 4 >0$
Do đó ptrinh có 2 nghiệm cùng dấu, vậy có 2 nghiệm âm hoặc 2 nghiệm dương.

Do đó, không có $m$ thỏa mãn đề bài.