Cho phương trình x^2-2mx-2m-3=0 a. giải phương trình m=1 b. CM phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m c. Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình Tìm m để x1^2+x2^2=15

Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)m = 1\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2.1.x - 2.1 - 3 = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 5 = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 6\\
 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 6\\
 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 6 \\
Vậy\,x = 1 \pm \sqrt 6 \\
b)\Delta ' = {m^2} - \left( { - 2m - 3} \right)\\
 = {m^2} + 2m + 3\\
 = {m^2} + 2m + 1 + 2\\
 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 2 \ge 2 > 0
\end{array}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm với mọi m

$\begin{array}{l}
c)Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m\\
{x_1}{x_2} =  - 2m - 3
\end{array} \right.\\
x_1^2 + x_2^2 = 15\\
 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 15\\
 \Leftrightarrow {\left( {2m} \right)^2} - 2.\left( { - 2m - 3} \right) = 15\\
 \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 6 = 15\\
 \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 = 10\\
 \Leftrightarrow {\left( {2m + 1} \right)^2} = 10\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2m + 1 = \sqrt {10} \\
2m + 1 =  - \sqrt {10} 
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \dfrac{{\sqrt {10}  - 1}}{2}\\
m = \dfrac{{ - \sqrt {10}  - 1}}{2}
\end{array} \right.\\
Vậy\,m = \dfrac{{\sqrt {10}  - 1}}{2};m = \dfrac{{ - \sqrt {10}  - 1}}{2}
\end{array}$