Cho phương trình $\frac{(m^{2}+1)x+1-2m^{2}}{x-5}=2m$ Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất đạt giá trị lớn nhất

Đáp án:

$m=-2$ 

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{\left( {{m^2} + 1} \right)x + 1 - 2{m^2}}}{{x - 5}} = 2m\left( {DKXD:x \ne 5} \right)\\
 \Rightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)x + 1 - 2{m^2} = 2m\left( {x - 5} \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 2m + 1} \right)x = 2{m^2} - 10m - 1\\
 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2}x = 2{m^2} - 10m - 1\left( 1 \right)
\end{array}$

Phương trình $(1)$ có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow m \ne 1$

Khi đó nghiệm của phương trình $(1)$ là: $x = \dfrac{{2{m^2} - 10m - 1}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}$

Xét hiệu:

$\begin{array}{l}
x - 3 = \dfrac{{2{m^2} - 10m - 1}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} - 3\\
 = \dfrac{{2{m^2} - 10m - 1 - 3{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}\\
 = \dfrac{{ - {m^2} - 4m - 4}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}\\
 =  - \dfrac{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}\\
 \le 0,\forall m \ne 1\\
 \Rightarrow x - 3 \le 0,\forall m \ne 1\\
 \Rightarrow x \le 3,\forall m \ne 1
\end{array}$

Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow m + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  - 2$

Vậy $m=-2$ để phương trình có nghiệm duy nhất đạt giá trị lớn nhất bằng $3#