Cho (P): y=x^2-4x+3 và đường thẳng d: y=mx+3. Tìm tất cả các giá trị thực của m để d cắt P tại 2 điểm phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 9/2

Đáp án:

\(m =  - 1;\,\,m =  - 7\).

Giải thích các bước giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} - 4x + 3 = mx + 3 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 4} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = m + 4\end{array} \right.\)

Để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt \( \Rightarrow m + 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 4\).

Với \(x = 0 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow A\left( {0;3} \right)\).

Với \(x=m+4\Rightarrow y={{m}^{2}}+4m+3\Rightarrow B\left( m+4;{{m}^{2}}+4m+3 \right).\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = {\left( {m + 4} \right)^2} + {\left( {{m^2} + 4m} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {m + 4} \right)^2} + {m^2}{\left( {m + 4} \right)^2} = {\left( {m + 4} \right)^2}\left( {{m^2} + 1} \right)\\ \Rightarrow AB = \left| {m + 4} \right|\sqrt {{m^2} + 1} \end{array}\)

Và \(d\left( {O;d} \right) = \frac{{\left| 3 \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{3}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}\).

Khi đó

\(\begin{array}{l}{S_{OAB}} = \frac{1}{2}.d\left( {O;d} \right).AB = \frac{1}{2}.\frac{3}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}.\left| {m + 4} \right|\sqrt {{m^2} + 1} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{3\left| {m + 4} \right|}}{2} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow \left| {m + 4} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 4 = 3\\m + 4 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m =  - 7\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(m =  - 1;\,\,m =  - 7\).