cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 chứng minh 2017 - p^2 ⋮ 24

Vì `p` là số nguyên tố lớn hơn `3` nên `p : 3` dư `1` hoặc dư `2`

Xét `p ≡ 1 ( mod 3 ) ⇔ p^2 ≡ 1^2 ( mod  3 )`

Xét `p ≡ 2 ⇔ p^2 ≡ 2^2 ≡ 4 ≡ 1 ( mod 3 )`

`⇒ p^2 ≡ 1 ( mod 3 )`

`⇒ 2017 - p^2 vdots 3 ( 1 )`

Vì số chính phương chia `8` chỉ dư `0 , 1` hoặc `4`

`⇒ p^2 : 8` dư `0 , 1` hoặc `4`

Mà `p` là số lẻ `⇒ p^2 ≡ 1 ( mod 8 )`

Do `2017 : 8` dư `1 , p^2 : 8` dư `1 ⇒ 2017 - p^2 vdots 8 ( 2 )`

Vì `ƯCLN( 3 ; 8 ) = 1` nên từ `( 1 )` và `( 2 )`

`⇒ 2017 - p^2 vdots 24 (` Điều phải chứng minh `)`

_______________________________________________________________________

Chứng minh số chính phương chia `8` chỉ dư `0 , 1` hoặc `4`

Xét số chính phương `a^2 ( a ∈ N )`

Nếu `a ≡ 0 ( mod 8 ) ⇒ a^2 ≡ 0 ( mod 8 )`

Nếu `a ≡ ± 1 ( mod 8 ) ⇒ a^2 ≡ 1 ( mod 8 )`

Nếu `a ≡ ± 2 ( mod 8 ) ⇒ a^2 ≡ 4 ( mod 8 )`

Nếu `a ≡ ± 3 ( mod 8 ) ⇒ a^2 ≡ 9 ≡ 1 ( mod 8 )`

Nếu `a ≡ ± 4 ( mod 8 ) ⇒ a^2 ≡ 16 ≡ 0 ( mod 8 )`

`⇒` Số chính phương chia `8` chỉ dư `0 , 1 , 4`