Cho (O) đường kính AB, C ∈ (O); kẻ bán kính OI ⊥ BC tại H, gọi M là giao điểm của BC và AI. Vẽ (I) bán kính IB, AC cắt (I) tại K. a) CMR: H là trung điểm của BC. b) CMR: AI là phân giác của CAB̂ c) CMR: B, I, K thẳng hàng. d) Gọi E là trung điểm của AM. CMR: CE là tiếp tuyến của (I).

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $OI\perp BC$

$\to OI$ là trung trực của $BC$

Mà $OI\cap BC=H$

$\to H$ là trung điểm $BC$

b.Vì $OI$ là trung trực của $BC\to IB=IC$

$\to\widehat{CAI}=\widehat{BAI}$

$\to AI$ là phân giác $\widehat{CAB}$

c.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)$

$\to AC\perp CB$

$\to CB\perp CK$

$\to \widehat{KCB}=90^o$

$\to BK$ là đường kính của $(I)$

$\to B, I, K$ thẳng hàng

d.Ta có: $E$ là trung điểm $AM,\Delta ACM$ vuông tại $C$

$\to EC=EA=EM=\dfrac12AM$

$\to \widehat{ICB}=\widehat{IBC}=\widehat{IAC}=\widehat{CAE}=\widehat{ECA}$

$\to\widehat{ICE}=\widehat{ICB}+\widehat{BCE}=\widehat{ACE}+\widehat{BCE}=\widehat{BCA}=90^o$

$\to CE\perp CI$

$\to CE$ là tiếp tuyến của $(I)$