Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Vẽ hai tiếp tuyến Bx và Cy của (O). Gọi A là điểm trên nửa đường tròn sao cho AB<AC. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt Bx tại M và Cy tại N. a) Chứng minh: MN = BM + CN b) Chứng minh OM vuông góc AB và OM song song AC c) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng minh AH^2 =AB.AC.sinB.cosB d) Đường thẳng AC cắt Bx tại D. Chứng minh OD vuông góc BN

`a)` `AM; BM` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$

`=>AM=BM`

`AN;CN` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $N$

`=>AN=CN`

Ta có:

`MN=AM+AN=BM+CN`

Vậy `MN=BM+CN` (đpcm)

$\\$

`b)` Vì $AM=BM$ (c/m trên)

Mà `OA=OB=R`

`=>OM` là trung trực của $AB$

`=>OM`$\perp AB$ $(1)$

$\\$

$BC$ là đường kính của $(O)$

`=>BC=2R; O` là trung điểm $BC$

`=>AO` là trung tuyến $∆ABC$

Vì `AO=R`

`=>AO={BC}/2`

`=>∆ABC` vuông tại $A$ (∆ có trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện là ∆ vuông)

`=>AC`$\perp AB$ $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>OM`//$AC$ (đpcm)

$\\$

`c)` Xét $∆ABH$ vuông tại $H$

`=>sinB={AH}/{AB}`

`=>AH=ABsinB` $(3)$

$\\$

Xét $∆ABC$ vuông tại $A$

`=>sinC=cosB` (tính chất hai góc phụ nhau)

Xét $∆ACH$ vuông tại $H$

`=>sinC={AH}/{AC}`

`=>AH=AC.sinC=AC.cosB` $(4)$

Từ `(3);(4)=> AH^2 =AB.AC.sinB.cosB` (đpcm)

$\\$

`d)` Ta có:

`AN=CN` (câu a)

`OA=OC=R`

`=>ON` là trung trực của $AC$

`=>ON`$\perp AC$ tại $E$ (`E` là trung điểm $AC$)

$\\$

Xét $∆BCD$ và $∆CNO$ có:

`\qquad \hat{CBD}=\hat{NCO}=90°`

`\qquad \hat{BCD}=\hat{CNO}` (cùng phụ `\hat{NCE}`)

`=>∆BCD∽∆CNO` (g-g)

`=>{BD}/{BC}={CO}/{CN}`

`=>{BD}/{CB}={BO}/{CN}` (vì `BO=CO=R`)

$\\$

Xét $∆OBD$ và $∆NCB$ có:

`\qquad \hat{OBD}=\hat{NCB}=90°`

`\qquad {BD}/{CB}={BO}/{CN}` (c/m trên)

`=>∆OBD∽∆NCB` (c-g-c)

`=>\hat{ODB}=\hat{NBC}`

$\\$

Gọi $I$ là giao điểm của $OD$ và $BN$

Ta có `∆OBD` vuông tại $B$

`=>\hat{ODB}+\hat{DOB}=90°` 

`=>\hat{NBC}+\hat{DOB}=90°`

`=>\hat{IBO}+\hat{IOB}=90°`

`=>\hat{OIB}=180°-(\hat{IBO}+\hat{IOB})=180°-90°=90°`

`=>OD`$\perp BN$ tại $I$ (đpcm)