Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và 2 tiếp tuyến Ax,By với nửa đường tròn.Từ M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax,By lần lượt tại C và D.Gọi N là giao điểm của AD và BC. a)Chứng minh $\Delta$ COD vuông từ đó suy ra tích AC.BD không đổi. b)Chứng minh MN//AC. c)Gọi E là giao điểm BM và Ax.Chứng minh C là trung điểm của AE. d)Gọi P là giao điểm của MN và AB.So sánh MN với NP. e)Chứng minh OE $\bot$ AD. f)Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta$ COD và $R$ là bán kính nửa đường tròn tâm O.Chứng minh $\dfrac{1}{3}<\dfrac{r}{R}<\dfrac{1}{2}$.

a)

$OC$ là tia phân giác $\widehat{MOA}$

$OD$ là tia phân giác $\widehat{MOB}$

Mà $\widehat{MOA}$ và $\widehat{MOB}$ là hai góc kề bù

Nên $OC\bot OD$

$\Delta COD$ vuông tại $O$

$\Rightarrow MC.MD=O{{M}^{2}}$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow AC.BD={{R}^{2}}$ (không đổi)

b)

Ta-let: $\dfrac{NC}{NB}=\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{MC}{MD}\Rightarrow MN//AC$

c)

Có: $\widehat{CMA}=\widehat{CAM}$

Mà: $\begin{cases}\widehat{CMA}+\widehat{CME}=90{}^\circ\\\widehat{CAM}+\widehat{CEM}=90{}^\circ\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{CME}=\widehat{CEM}$

$\Rightarrow \Delta CEM$ cân tại $C$

$\Rightarrow CE=CM=CA$

$\Rightarrow C$ là trung điểm $AE$

d)

Ta-let: $\begin{cases}\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{MN}{CE}\\\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{NP}{CA}\end{cases}$

$\Rightarrow \dfrac{MN}{CE}=\dfrac{NP}{CA}$

Mà $CE=CA$ nên $MN=NP$

e)

$\Delta AOC\backsim\Delta BDO\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{AO}{BD}=\dfrac{AC}{BO}=\dfrac{2AC}{2BO}=\dfrac{AE}{BA}$

$\Rightarrow \Delta AOE\backsim\Delta BDA\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{AEO}=\widehat{BAD}$

$\Rightarrow OE\bot AD$

f)

Gọi $F$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta OCD$

Kẻ $FG\bot CD$ ; $FH\bot OC$; $FK\bot OD$

$\Rightarrow FG=FH=FK=r$

Có: ${{S}_{\Delta FOC}}+{{S}_{\Delta FOD}}+{{S}_{\Delta FCD}}={{S}_{OCD}}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2}FH.OC+\dfrac{1}{2}FK.OD+\dfrac{1}{2}FG.CD=\dfrac{1}{2}OM.CD$

$\Rightarrow r.OC+r.OD+r.CD=R.CD$

$\Rightarrow \dfrac{r}{R}=\dfrac{CD}{OC+OD+CD}$

Theo bất đẳng thức tam giác:

Có $OC+OD>CD$

$\Rightarrow OC+OD+CD>2CD$

$\Rightarrow \dfrac{CD}{OC+OD+CD}<\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{r}{R}<\dfrac{1}{2}$

Theo tính chất cạnh góc vuông – cạnh huyền:

Có: $\begin{cases}OC<CD\\OD<CD\end{cases}$

$\Rightarrow OC+OD<2CD$

$\Rightarrow OC+OD+CD<3CD$

$\Rightarrow \dfrac{CD}{OC+OD+CD}>\dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow \dfrac{r}{R}>\dfrac{1}{3}$

Vậy $\dfrac{1}{3}<\dfrac{r}{R}<\dfrac{1}{2}$