Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm M trên nửa đường tròn Vẽ tiếp tuyến tại M cắt AB tại E và cắt tiếp tuyến Bx tại F. Kẻ MH vuông góc với AB a) Chứng minh: OM^2 = OH.OE b) CM: MA// FO c) Gọi I là giao điểm của MH và FA. CM: I là trung điểm của MH

`a)` $ME$ là tiếp tuyến tại $M$ của `(O)` 

`=>ME`$\perp OM$

Xét $∆OEM$ vuông tại $M$ có $MH\perp OE$

`=>OM^2=OH.OE` (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\\$

`b)` $AB$ là đường kính của `(O)`

`=>AB=2R` và `O` là trung điểm $AB$

`=>MO` là trung tuyến $∆MAB$

Vì `MO=R`

`=>MO={AB}/2`

`=>∆ABM` vuông tại $M$ (∆ có trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện là ∆ vuông)

`=>MA`$\perp BM$ $(1)$

$\\$

Ta có $MF; BF$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $F$ $(M;B$ là tiếp điểm)

`=>MF=BF`

Mà $OM=O B=R$

`=>F O` là trung trực của $BM$

`=>FO`$\perp BM$ $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>MA`//$FO$ (đpcm)

$\\$

`c)` Xét $∆ABF$ có $IH$//$FB$ (cùng $\perp AB$)

`=>{IH}/{FB}={AH}/{AB}` (hệ quả định lý Talet)

`=>FB.AH=I H.AB` $(3)$

$\\$

Vì $MA$//$FO$ (câu b)

`=>\hat{MAH}=\hat{FOB}` (hai góc đồng vị)

$\\$

Xét $∆MHA$ và $∆FBO$ có:

`\qquad \hat{MHA}=\hat{FBO}=90°`

`\qquad \hat{MAH}=\hat{FOB}` (c/m trên)

`=>∆MHA∽∆FBO` (g-g)

`=>{MH}/{FB}={AH}/{OB}` 

`=>FB.AH=MH.OB` $(4)$

$\\$

Từ `(3);(4)=>I H.AB=MH.OB`

Vì $AB=2OB$

`=>I H. 2OB=MH.OB`

`=>MH=2IH`

`=>MI+IH=2IH`

`=>MI=IH`

`=>I` là trung điểm $MH$ (đpcm)