Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên nửa đường tròn lấy điểm C (C khác A và B). Gọi D là giao điểm của đường thẳng BC với tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn tâm O và I là trung điểm AD. a) Chứng minh BC.BD = 4R2 b)Chứng minh IC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O.
2 câu trả lời
`a)`
Xét `ΔABC` nội tiếp đường tròn `(O)` có `AB` là đường kính
`⇒ΔABC` vuông tại `C`
`⇒AC⊥BC`
Mà `D∈BC`
`⇒AC⊥BD`
Ta có:`hat{BAD}=90^o`(tính chất tiếp tuyến)
`⇒ΔBAD` vuông tại `A`
Xét `ΔBAD` vuông tại `A` và `AC` là đường cao ta có:
`BC.BD=AB²`(hệ thức lượng)
`⇒BC.BD=(2R)²`
`⇒BC.BD=4R²(đpcm)`
`b)`
Ta có:`AC⊥BD(cmt)`
`⇒hat{ACD}=90^o`
`⇒ΔACD` vuông tại `C`
Xét `ΔACD` vuông tại `C` có `CI` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `AD` nên ta có:
`CI=1/2AD`
Mà `AI=1/2AD(I` là trung điểm của `AD)`
`⇒CI=AI`
Xét `ΔOCI` và `ΔOAI` có:
`CI=AI(cmt)`
`OC=OA=R`
`OI:chung`
`⇒ΔOCI=ΔOAI(c.c.c)`
`⇒hat{OCI}=hat{OAI}(2` góc tương ứng)
Mà `hat{OAI}=90^o`(tính chất tiếp tuyến)
`⇒hat{OCI}=90^o`
`⇒IC⊥OC`
`⇒IC` là tiếp tuyến của nửa đường tròn `(O)(đpcm)`