Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, C ∈ (O), kẻ OH ⊥ BC, OH cắt tiếp tuyến tại B ở E. Gọi D là giao điểm của OE với (O), M là giao điểm của AD với BC. a) CMR: 𝐴𝐶𝐵 ̂ = 𝐴𝐵𝐸 ̂ và H là trung điểm của BC. b) CMR: AD là phân giác của CAB̂ . c) CMR: EC là tiếp tuyến của (O). d) AD cắt BE tại I, IH cắt BD tại K. CMR: KH . BI = IK . BH.

Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB$ là đường kính của $(O)\to \widehat{ACB}=90^o$

        $BE$ là tiếp tuyến của $(O)\to \widehat{OBE}=90^o\to \widehat{ABE}=90^o$

$\to\widehat{ACB}=\widehat{ABE}$

Ta có $OH\perp BC\to H$ là trung điểm $BC$

b.Ta có $OH\perp BC\to OH$ là trung trực của $BC$

$\to DC=DB$

$\to \widehat{CAD}=\widehat{BAD}$

$\to AD$ là phân giác $\widehat{CAB}$

c.Ta có $OH$ là trung trực của $BC, E\in OH$

$\to\widehat{ECO}=\widehat{EBO}=90^o$

$\to EC$ là tiếp tuyến của $(O)$

d.Ta có $OH$ là trung trực của $BC, D\in OH\to DB=DC$

$\to\widehat{DBC}=\widehat{DCB}$

Vì $BE$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{ECD}=\widehat{DCB}=\widehat{DBC}$

$\to BD$ là phân giác $\widehat{EBC}$

$\to BK$ là phân giác $\widehat{IBH}$

$\to \dfrac{KH}{KI}=\dfrac{BH}{BI}$

$\to KH\cdot BI=IK\cdot BH$