Cho lục giác ABCDEF . Gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DE, EF,FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm

Ta có: $\vec{MN}=\dfrac{1}{2}\vec{AC}$

$\vec{PQ}=\dfrac{1}{2}\vec{CE}$

$\vec{RS}=\dfrac{1}{2}\vec{EA}$

$\Rightarrow \vec{MN}+\vec{PQ}+\vec{RS}$

$=\dfrac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{CE}+\vec{EA})$

$=\dfrac{1}{2}\vec{AA}$

$=\vec 0$

$\Rightarrow \vec{MN}+\vec{PQ}+\vec{RS}=\vec 0$ (1)

Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta MPR$

$\Rightarrow\vec{GM}+\vec{GP}+\vec{GR}=\vec 0$ (2)

Mà $\vec{MN}=\vec{MG}+\vec{GN}$

$\vec{PQ}=\vec{PG}+\vec{GQ}$

$\vec{RS}=\vec{RG}=\vec{GS}$ (3)

Từ (1) , (2) và (3) $ \vec{MN}+\vec{PQ}+\vec{RS}$

$=-(\vec{GM}+\vec{GP}+\vec{GR})+(\vec{GN}+\vec{GQ}+\vec{GS})$

$\Rightarrow \vec{GN}+\vec{GQ}+\vec{GS}=0$

$\Rightarrow G$ là trọng tâm $\Delta NQS$